Apêndice A: Sistemas de Numeração
Texto sobre sistemas de numeração posicionais: decimal, binário e hexadecimal.
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Texto sobre sistemas de numeração posicionais: decimal, binário e hexadecimal.
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Um sistema de numeração define um conjunto regras para formação de numerais. Para o estudo de um sistema de numeração é importante observar as diferenças entre número, numeral e algarismos. Um número expressa a ideia de quantidade, por exemplo: quando estamos contando dinheiro. O numeral é toda representação de um número, seja ela escrita ou falada, por exemplo: os numerais cardinais “Um”, “Dois”, “Três”. Os algarismos são símbolos que representam os números, por exemplo: 1, 8, 33, 255.
Outra característica de um sistema de numeração é chamada de base. A base de um sistema numérico é definida de acordo com o número de símbolos utilizados para representa o sistema, esses símbolos podem ser chamados de dígitos, portanto um algarismo é formado através de um conjunto de dígitos, por exemplo: o número 5 tem um dígito já o número 255 possui três dígitos.
O sistema de numeração mais utilizado no mundo é o decimal. Esse sistema numérico possui 10 símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.
O sistema de numeração decimal é posicional, pois a posição que o dígito ocupa na representação do número faz com que a quantidade expressa por tal seja alterada. Portanto, para um sistema posicional, um número de valor ‘N’ pode ser representado numa base ‘b’ conforme o seguinte polinômio:
Por exemplo, o número decimal 235 é representado da seguinte maneira:
Embora o sistema decimal seja o mais utilizado no nosso dia a dia, os sistemas digitais como os computadores não operam utilizando esse sistema, em vez disso, eles processam números binários.
O sistema de numeração binário também é posicional e utiliza os símbolos 0 e 1 para representação dos números. O bit (do inglês, binary digit) é a menor quantidade de informação que um sistema digital pode armazenar, podendo apresentar o valor 0 ou 1.
Um modo rápido e fácil para conversão de números binários para o sistema decimal é destacar os pesos de cada posição dos bits e somar os pesos somente onde o bit possui valor 1. O Quadro 1‑1 exibe o processo de conversão.
8
4
2
1
Valor decimal
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
2
0
0
1
1
2 + 1 = 3
0
1
0
0
4
0
1
0
1
4 + 1 = 5
0
1
1
0
4 + 2 = 6
0
1
1
1
4 + 2 + 1 = 7
1
0
0
0
8
1
0
0
1
8 + 1 = 9
1
0
1
0
8 + 2 = 10
1
0
1
1
8 + 2 + 1 = 11
1
1
0
0
8 + 4 = 12
1
1
0
1
8 + 4 + 1 = 13
1
1
1
0
8 + 4 + 2 = 14
1
1
1
1
8 + 4 + 2 + 1 = 15
A conversão de um número decimal para um número de outra base é feito realizando divisões sucessivas enquanto o quociente é diferente de zero. O número convertido é obtido analisando o resto de cada operação de divisão. Por exemplo, o número decimal 235 convertido para o sistema binário:
Analisando os resultados obtidos de baixo para cima, obtêm-se a sequência 11101011.
128
64
32
16
8
4
2
1
Valor decimal
1
1
1
0
1
0
1
1
128 + 64 + 32 + 8 + 2 + 1 = 235
Vimos que os bits são numerados com 0, 1, 2, 3 e assim em diante, sempre da direita para a esquerda. É definido como bit mais significativo, o bit que está mais a esquerda da sequência de dígitos que representa o número, enquanto que o bit menos significativo é utilizado para se referir ao bit que está mais a direita.
Outra representação dos números binários pode ser feita a partir do sistema hexadecimal. Esse sistema possui 16 símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Os números hexadecimais são menores e mais fáceis de escrever e de se lembrar, utilizando esse sistema é possível representar 4 bits através de um único dígito, pois .
8
4
2
1
Decimal
Hexadecimal
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
0
2
2
0
0
1
1
3
3
0
1
0
0
4
4
0
1
0
1
5
5
0
1
1
0
6
6
0
1
1
1
7
7
1
0
0
0
8
8
1
0
0
1
9
9
1
0
1
0
10
A
1
0
1
1
11
B
1
1
0
0
12
C
1
1
0
1
13
D
1
1
1
0
14
E
1
1
1
1
15
F
O processo de conversão decimal para hexadecimal segue a mesma regra da conversão para o sistema binário. Por exemplo, o processo de conversão do valor 235 em hexadecimal:
Analisando os resultados obtidos de baixo para cima, obtêm-se a sequência 0xEB ou EBH.
16
1
Valor
E
B
14x16 + 11x1 = 235