> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://bit-by-bit.gitbook.io/embedded-systems/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://bit-by-bit.gitbook.io/embedded-systems/sistemas-de-numeracao.md). # Apêndice A: Sistemas de Numeração Texto sobre sistemas de numeração posicionais: decimal, binário e hexadecimal. ## Sistemas de Numeração Um sistema de numeração define um conjunto regras para formação de numerais. Para o estudo de um sistema de numeração é importante observar as diferenças entre número, numeral e algarismos. Um número expressa a ideia de quantidade, por exemplo: quando estamos contando dinheiro. O numeral é toda representação de um número, seja ela escrita ou falada, por exemplo: os numerais cardinais “Um”, “Dois”, “Três”. Os algarismos são símbolos que representam os números, por exemplo: 1, 8, 33, 255. Outra característica de um sistema de numeração é chamada de base. A base de um sistema numérico é definida de acordo com o número de símbolos utilizados para representa o sistema, esses símbolos podem ser chamados de dígitos, portanto um algarismo é formado através de um conjunto de dígitos, por exemplo: o número 5 tem um dígito já o número 255 possui três dígitos. ## Sistema de numeração decimal O sistema de numeração mais utilizado no mundo é o decimal. Esse sistema numérico possui 10 símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. O sistema de numeração decimal é posicional, pois a posição que o dígito ocupa na representação do número faz com que a quantidade expressa por tal seja alterada. Portanto, para um sistema posicional, um número de valor ‘N’ pode ser representado numa base ‘b’ conforme o seguinte polinômio: $$ N\_b = N\_i.b^i + N\_{i-1}.b^{i-1}+ ... + N\_1.b^1+N\_0.b^0 $$ Por exemplo, o número decimal 235 é representado da seguinte maneira: $$ 235\_{10} = 2.10^2 + 3.10^1+ 5.10^0 = 200+30+5 $$ ## Sistema de numeração binário Embora o sistema decimal seja o mais utilizado no nosso dia a dia, os sistemas digitais como os computadores não operam utilizando esse sistema, em vez disso, eles processam números binários. O sistema de numeração binário também é posicional e utiliza os símbolos 0 e 1 para representação dos números. O bit (do inglês, *binary digit*) é a menor quantidade de informação que um sistema digital pode armazenar, podendo apresentar o valor 0 ou 1. Um modo rápido e fácil para conversão de números binários para o sistema decimal é destacar os pesos de cada posição dos bits e somar os pesos somente onde o bit possui valor 1. O Quadro 1‑1 exibe o processo de conversão. | 8 | 4 | 2 | 1 | **Valor decimal** | | - | - | - | - | ------------------ | | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | | 0 | 0 | 1 | 0 | 2 | | 0 | 0 | 1 | 1 | 2 + 1 = 3 | | 0 | 1 | 0 | 0 | 4 | | 0 | 1 | 0 | 1 | 4 + 1 = 5 | | 0 | 1 | 1 | 0 | 4 + 2 = 6 | | 0 | 1 | 1 | 1 | 4 + 2 + 1 = 7 | | 1 | 0 | 0 | 0 | 8 | | 1 | 0 | 0 | 1 | 8 + 1 = 9 | | 1 | 0 | 1 | 0 | 8 + 2 = 10 | | 1 | 0 | 1 | 1 | 8 + 2 + 1 = 11 | | 1 | 1 | 0 | 0 | 8 + 4 = 12 | | 1 | 1 | 0 | 1 | 8 + 4 + 1 = 13 | | 1 | 1 | 1 | 0 | 8 + 4 + 2 = 14 | | 1 | 1 | 1 | 1 | 8 + 4 + 2 + 1 = 15 | A conversão de um número decimal para um número de outra base é feito realizando divisões sucessivas enquanto o quociente é diferente de zero. O número convertido é obtido analisando o resto de cada operação de divisão. Por exemplo, o número decimal 235 convertido para o sistema binário: $$\begin{aligned} \frac{235}{2} &= 117, \&resto=1 \ \frac{117}{2} &= 58, \&resto=1 \ \frac{58}{2} &= 29, \&resto=0 \ \frac{29}{2} &= 14, \&resto=1 \ \frac{14}{2} &= 7, \&resto=0 \ \frac{7}{2} &= 3, \&resto=1 \ \frac{3}{2} &= 1, \&resto=1\ \frac{1}{2} &= 0, \&resto=1 \end{aligned}$$ Analisando os resultados obtidos de baixo para cima, obtêm-se a sequência 11101011. | 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 | **Valor decimal** | | --- | -- | -- | -- | - | - | - | - | ------------------------------- | | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 128 + 64 + 32 + 8 + 2 + 1 = 235 | Vimos que os bits são numerados com 0, 1, 2, 3 e assim em diante, sempre da direita para a esquerda. É definido como bit mais significativo, o bit que está mais a esquerda da sequência de dígitos que representa o número, enquanto que o bit menos significativo é utilizado para se referir ao bit que está mais a direita. ## Sistema de numeração hexadecimal Outra representação dos números binários pode ser feita a partir do sistema hexadecimal. Esse sistema possui 16 símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Os números hexadecimais são menores e mais fáceis de escrever e de se lembrar, utilizando esse sistema é possível representar 4 bits através de um único dígito, pois . | 8 | 4 | 2 | 1 | **Decimal** | **Hexadecimal** | | - | - | - | - | ----------- | --------------- | | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | | 0 | 0 | 1 | 0 | 2 | 2 | | 0 | 0 | 1 | 1 | 3 | 3 | | 0 | 1 | 0 | 0 | 4 | 4 | | 0 | 1 | 0 | 1 | 5 | 5 | | 0 | 1 | 1 | 0 | 6 | 6 | | 0 | 1 | 1 | 1 | 7 | 7 | | 1 | 0 | 0 | 0 | 8 | 8 | | 1 | 0 | 0 | 1 | 9 | 9 | | 1 | 0 | 1 | 0 | 10 | A | | 1 | 0 | 1 | 1 | 11 | B | | 1 | 1 | 0 | 0 | 12 | C | | 1 | 1 | 0 | 1 | 13 | D | | 1 | 1 | 1 | 0 | 14 | E | | 1 | 1 | 1 | 1 | 15 | F | O processo de conversão decimal para hexadecimal segue a mesma regra da conversão para o sistema binário. Por exemplo, o processo de conversão do valor 235 em hexadecimal: $$ \begin{aligned} \frac{235}{16} &= 14, \&resto=11=B\ \frac{14}{16} &= 0, \&resto=14=E \end{aligned} $$ Analisando os resultados obtidos de baixo para cima, obtêm-se a sequência 0xEB ou EBH. | 16 | 1 | Valor | | -- | - | ------------------ | | E | B | 14x16 + 11x1 = 235 |