Apêndice A: Sistemas de Numeração

Texto sobre sistemas de numeração posicionais: decimal, binário e hexadecimal.

Sistemas de Numeração

Um sistema de numeração define um conjunto regras para formação de numerais. Para o estudo de um sistema de numeração é importante observar as diferenças entre número, numeral e algarismos. Um número expressa a ideia de quantidade, por exemplo: quando estamos contando dinheiro. O numeral é toda representação de um número, seja ela escrita ou falada, por exemplo: os numerais cardinais “Um”, “Dois”, “Três”. Os algarismos são símbolos que representam os números, por exemplo: 1, 8, 33, 255.

Outra característica de um sistema de numeração é chamada de base. A base de um sistema numérico é definida de acordo com o número de símbolos utilizados para representa o sistema, esses símbolos podem ser chamados de dígitos, portanto um algarismo é formado através de um conjunto de dígitos, por exemplo: o número 5 tem um dígito já o número 255 possui três dígitos.

Sistema de numeração decimal

O sistema de numeração mais utilizado no mundo é o decimal. Esse sistema numérico possui 10 símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.

O sistema de numeração decimal é posicional, pois a posição que o dígito ocupa na representação do número faz com que a quantidade expressa por tal seja alterada. Portanto, para um sistema posicional, um número de valor ‘N’ pode ser representado numa base ‘b’ conforme o seguinte polinômio:

Nb=Ni.bi+Ni1.bi1+...+N1.b1+N0.b0N_b = N_i.b^i + N_{i-1}.b^{i-1}+ ... + N_1.b^1+N_0.b^0

Por exemplo, o número decimal 235 é representado da seguinte maneira:

23510=2.102+3.101+5.100=200+30+5235_{10} = 2.10^2 + 3.10^1+ 5.10^0 = 200+30+5

Sistema de numeração binário

Embora o sistema decimal seja o mais utilizado no nosso dia a dia, os sistemas digitais como os computadores não operam utilizando esse sistema, em vez disso, eles processam números binários.

O sistema de numeração binário também é posicional e utiliza os símbolos 0 e 1 para representação dos números. O bit (do inglês, binary digit) é a menor quantidade de informação que um sistema digital pode armazenar, podendo apresentar o valor 0 ou 1.

Um modo rápido e fácil para conversão de números binários para o sistema decimal é destacar os pesos de cada posição dos bits e somar os pesos somente onde o bit possui valor 1. O Quadro 1‑1 exibe o processo de conversão.

8

4

2

1

Valor decimal

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

1

0

2

0

0

1

1

2 + 1 = 3

0

1

0

0

4

0

1

0

1

4 + 1 = 5

0

1

1

0

4 + 2 = 6

0

1

1

1

4 + 2 + 1 = 7

1

0

0

0

8

1

0

0

1

8 + 1 = 9

1

0

1

0

8 + 2 = 10

1

0

1

1

8 + 2 + 1 = 11

1

1

0

0

8 + 4 = 12

1

1

0

1

8 + 4 + 1 = 13

1

1

1

0

8 + 4 + 2 = 14

1

1

1

1

8 + 4 + 2 + 1 = 15

A conversão de um número decimal para um número de outra base é feito realizando divisões sucessivas enquanto o quociente é diferente de zero. O número convertido é obtido analisando o resto de cada operação de divisão. Por exemplo, o número decimal 235 convertido para o sistema binário:

2352=117,resto=11172=58,resto=1582=29,resto=0292=14,resto=1142=7,resto=072=3,resto=132=1,resto=112=0,resto=1\begin{aligned} \frac{235}{2} &= 117, &resto=1 \\ \frac{117}{2} &= 58, &resto=1 \\ \frac{58}{2} &= 29, &resto=0 \\ \frac{29}{2} &= 14, &resto=1 \\ \frac{14}{2} &= 7, &resto=0 \\ \frac{7}{2} &= 3, &resto=1 \\ \frac{3}{2} &= 1, &resto=1\\ \frac{1}{2} &= 0, &resto=1 \end{aligned}

Analisando os resultados obtidos de baixo para cima, obtêm-se a sequência 11101011.

128

64

32

16

8

4

2

1

Valor decimal

1

1

1

0

1

0

1

1

128 + 64 + 32 + 8 + 2 + 1 = 235

Vimos que os bits são numerados com 0, 1, 2, 3 e assim em diante, sempre da direita para a esquerda. É definido como bit mais significativo, o bit que está mais a esquerda da sequência de dígitos que representa o número, enquanto que o bit menos significativo é utilizado para se referir ao bit que está mais a direita.

Sistema de numeração hexadecimal

Outra representação dos números binários pode ser feita a partir do sistema hexadecimal. Esse sistema possui 16 símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Os números hexadecimais são menores e mais fáceis de escrever e de se lembrar, utilizando esse sistema é possível representar 4 bits através de um único dígito, pois .

8

4

2

1

Decimal

Hexadecimal

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

0

0

1

0

2

2

0

0

1

1

3

3

0

1

0

0

4

4

0

1

0

1

5

5

0

1

1

0

6

6

0

1

1

1

7

7

1

0

0

0

8

8

1

0

0

1

9

9

1

0

1

0

10

A

1

0

1

1

11

B

1

1

0

0

12

C

1

1

0

1

13

D

1

1

1

0

14

E

1

1

1

1

15

F

O processo de conversão decimal para hexadecimal segue a mesma regra da conversão para o sistema binário. Por exemplo, o processo de conversão do valor 235 em hexadecimal:

23516=14,resto=11=B1416=0,resto=14=E\begin{aligned} \frac{235}{16} &= 14, &resto=11=B\\ \frac{14}{16} &= 0, &resto=14=E \end{aligned}

Analisando os resultados obtidos de baixo para cima, obtêm-se a sequência 0xEB ou EBH.

16

1

Valor

E

B

14x16 + 11x1 = 235